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Quando John von Neumann iniziò le sue indagini per una formulazione matematicamente rigorosa della teoria quantistica, questa viveva ancora il dualismo degli approcci della meccanica delle matrici di Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan e della meccanica delle onde di Erwin Schrödinger. Entrambe le versioni furono poi unificate in un quadro più generale, noto come “teoria delle trasformazioni”. Sebbene si rivelò estremamente utile nell’adempiere al suo scopo, cioè quello di calcolare i processi quantistici, questa teoria però era matematicamente mal definita.
In un primo momento anche von Neumann, in collaborazione con Hilbert e Lothar Wolfgang Nordheim, cercò di seguire una strada simile ma si accorse presto che un approccio più naturale era offerto dalla teoria astratta e assiomatica degli “spazi di Hilbert” e dei loro operatori lineari. In questa formulazione, che ancora oggi viene usata, gli stati di un sistema fisico sono descritti da vettori nello spazio di Hilbert e le quantità che possono essere misurate sono rappresentate da cosiddetti “operatori hermitiani” che agiscono su tali spazi.
Un ritratto di John von Neumann. (Photograph by Alan W. Richards, courtesy AIP Emilio Segrè Visual Archives)
Tra il 1927 e il 1929 von Neumann pubblicò diversi articoli e arrivò a sviluppare una teoria rigorosa, fornendo un contributo fondamentale alla comprensione matematica della meccanica quantistica, influenzando profondamente sia la fisica che l’analisi funzionale. Hilbert, nonostante fosse stato uno dei primi matematici ad elaborare una teoria degli spazi infinito-dimensionali, completi e dotati di prodotto scalare, non sapeva che questi in suo onore fossero chiamati “spazi di Hilbert”. Il primo a utilizzare il termine der abstrakte Hilbertsche Raum (lo spazio di Hilbert astratto) fu proprio von Neumann nel suo lavoro sugli operatori hermitiani. Una storia popolare racconta che nel 1929 von Neumann si fosse recato a Göttingen per esporre il suo lavoro sulla meccanica quantistica. Come ad ogni conferenza, seduto in prima fila ad assistere alla presentazione c’era proprio Hilbert. Quando von Neumann concluse, venne avvicinato da un confuso Hilbert che gli disse: “Dottor von Neumann, sarei veramente curioso di sapere cosa siano, alla fine, questi spazi di Hilbert”.
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Autore: Riccardo Giustozzi
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